15 Differentialligninger

I dette kapitel vil vi beskrive, hvordan lineær algebra kan anvendes ifm. løsninger af visse typer af differentialligninger. Vi vil ikke beskrive, hvad der generelt menes med en differentialligning, men blot behandle begrebet i de tilfælde hvor lineær algebra kan anvendes. For at simplificere vores behandling af emnet yderligere, så vil vi alene betragte løsninger, der er beskrevet via funktioner i hhv. $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ eller $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C})$; dvs. via uendeligt ofte reelle eller komplekse differentiable funktioner. Som tidligere anvender vi notationen $\mathbb{K}$ om et legeme, der enten er lig $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$.

15.1 Differentiabilitet

I Eksempel 5.7 (c.) og Eksempel 5.7 (d.) har vi beskrevet, hvad vi mener med et element i $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ eller $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C})$. Vi siger da, at en funktion er differentiabel, hvis funktionerne defineret ved er elementer i $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$. Funktionen $F$ skriver vi ofte på formen $(f_{i,j})$. Mængden af differentiable funktioner af denne type betegnes i det følgende med $\mathrm{Mat}_{m,n}^\infty(\mathbb{K})$ (eller $\mathrm{Mat}_{n}^\infty(\mathbb{K})$ hvis $m=n$). Vi kan da betragte $\mathrm{Mat}_{m,n}^\infty(\mathbb{K})$ som et underrum i $\mathbb{K}$-vektorrummet $\mathcal F(\mathbb{R},\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K}))$ af alle funktioner fra $\mathbb{R}$ til $\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ (jf. Eksempel 5.4 (d.)).Såfremt $f'_{i,j}$ betegner differentialkvotienten af $f_{i,j}$, så kaldes funktionen for differentialkvotienten af $F=(f_{i,j})$.

Quiz

De velkendte regneregler for differentialkvotienter er da opfyldt:

Bevis

Quiz

For en matrix $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{K})$ vil vi ofte også anvende betegnelsen $A$ for den konstante funktion Det er da oplagt, at $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}^\infty(\mathbb{K})$, og ifølge Lemma 15.2 (3.) så har vi, at når $H \in \mathrm{Mat}_{n,l}^\infty(\mathbb{K})$.

15.2 Eksponentialfunktioner

For en given kvadratisk matrix $A \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{K})$ så definerer vi nu, hvad vi vil mene med den tilsvarende eksponentialfunktion.Indtil videre er det ikke klart, om der altid vil eksistere en eksponentialfunktion hørende til en vilkårlig matrix $A$. Inspireret af potensrækkeudviklingen af den sædvanlige eksponentialfunktion så er det fristende at forvente, at man kan definere en eksponentialfunktion for $A$ ved Dette kræver dog, at man kan give mening til en uendelig sum af matricer, hvilket vi ikke har til vores rådighed (men faktisk er dette en mulig fremgangsmåde). Vi vælger derfor en anden fremgangsmåde i det følgende. I første omgang betragter vi et par eksempler.Såfremt en eksponentialfunktion for en matrix eksisterer, så vil den være entydig bestemt:

Bevis

15.3 Eksistens af eksponentialfunktioner

Næste mål er at vise, at eksponentialfunktioner faktisk eksisterer. Vi starter med:

Bevis

Vi er nu klar til at vise, at enhver øvre triangulær matrix har en tilhørende eksponentialfunktion. I beviset nedenfor anvender vi, at enhver funktion $f \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$ har en stamfunktion $F \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$, og at en sådan kan relateres til funktionen Her skal vi huske på, at integralet på højresiden af (15.7) kan beregnes ud fra stamfunktionen $F$ via Specielt adskiller funktionen (15.7) sig kun fra $F$ med en konstant, og (15.7) definerer derfor selv en stamfunktion til $f$.

Bevis

Bevis

Vi kan nu vise, at der til enhver kompleks matrix eksisterer en eksponentialfunktion.

Bevis

For en kompleks matrix $A$ så har vi nu vist eksistensen og entydigheden af en dertil hørende eksponentialfunktion. Vi anvender fremover betegnelsen $\mathrm{exp}(A)$ om denne funktion. Værdien af $\mathrm{exp}(A)$ i $t \in \mathbb{R}$ betegnes med $\mathrm{exp}(A;t) \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{C})$.Mht. eksponentialfunktioner for reelle matricer, så bemærker vi nu følgende.

Bevis

Ovenstående lemma implicerer, at hvis $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{R})$ er en reel matrix, og vi lader $\mathrm{exp}(A)$ betegne den komplekse eksponentialfunktion for $A$, så vil $\mathrm{exp}(A)$ kunne opfattes som en reel eksponentialfunktion. Vi har dermed vist.

15.4 Lineære differentialligningssystemer

Lad $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{K})$. Vi siger, at et element $\bm{z} \in \mathrm{Mat}_{n,1}^\infty(\mathbb{K})$ er en løsning til det lineære differentialligningssystem hørende til $A$, såfremt Med andre ord så er $\bm{z}$ en funktion hvor $z_i \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$, for $i=1,2,\ldots,n$, der opfylder for alle $t \in \mathbb{R}$. Vektoren $\bm{z}(0)$ omtales som begyndelsesværdien for løsningen $\bm{z}$.Som notation for det lineære differentialligningssystem hørende til $A$ anvender vi Mængden af løsninger til (15.13) betegnes med $\mathcal{L}^\infty(A)$. Det er da umiddelbart klart, at $\mathcal{L}^\infty(A)$ er et underrum af $\mathbb{K}$-vektorrummet $\mathrm{Mat}_{n,1}^\infty(\mathbb{K})$.

Quiz

Quiz

Bevis

Bevis

Såfremt ${\bm{v}}$ i Proposition 15.16 er en egenvektor for $A$, så behøver vi ikke at beregne $\mathrm{exp}(A)$ for at bestemme den tilsvarende løsning til $\bm{x}' = A \cdot \bm{x}$ med begyndelsesværdi ${\bm{v}}$. Vi har her:

Bevis

Kombineres Proposition 15.19 med Proposition 15.16 så ser vi, at såfremt ${\bm{v}} \in \mathbb{K}^n$ er en egenvektor for $A$ med egenværdi $\lambda$. I tilfældet hvor $A$ er diagonaliserbar, så kan vi udnytte denne bemærkning til at opnå en simpel beskrivelse af en basis for $\mathcal{L}^\infty(A)$.

Bevis

15.5 Højere ordens differentialligninger

Vi fastholder nu skalarer $p_0,p_1,\ldots,p_{n-1} \in \mathbb{K}$, og betragter en differentialligning af formen En funktion $g \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$ kaldes så en løsning til (15.18), hvis Her betegner $g^{(i)}$, for $i=1,2,\ldots,n$, den $i$'te differentialkvotient af $g$, mens notationen $0$ på højresiden betegner nulelementet (dvs. nulfunktionen) i $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$. En differentialligning af denne form kaldes for en $n$'te ordens (homogen) lineær differentialligning med konstante koefficienter, og vi vil i det følgende beskrive mængden af løsningerne hertil.

15.5.1 Reformulering

Vi starter med at reformulere, hvad det betyder at være en løsning til (15.18). Lad $D$ betegne den lineære operator på $C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{K})$, og lad $p \in P(\mathbb{K})$ betegne det såkaldte karakteristiske polynomium for (15.18) givet ved Idet $D$ er en lineære operatorer på $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$, så kan vi sammensætte $D$ med sig selv og opnå nye operatorer $D^i$, for $i \in \mathbb{N}$, på $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$. Vi definerer herudover $D^0$ som identitetsafbildningen på $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$. Vi husker nu på, at mængden af operatorer på $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$ er et $\mathbb{K}$-vektorrum, og vi kan derfor give mening til operatoren Vi bemærker da, at $g \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$ er en løsning til (15.18) hvis og kun hvis Af samme grund så anvender vi ofte den korte notation $p(D)(f)=0$ om differentialligningen (15.18). I det følgende der anvender vi $\mathcal{L}^\infty(p)$ som betegnelse for mængden af løsninger til (15.18). Jf. ovenstående bemærkninger så er $\mathcal{L}^\infty(p)$ identisk med kernen af den lineære operator $p(D)$ på $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$, og $\mathcal{L}^\infty(p)$ er dermed et underrum af $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{K})$.

15.5.2 Dimensionen af $\mathcal{L}^\infty(p)$

Betragt en differentialligning $p(D)(f)=0$ af typen (15.18). Vi indfører matricen og bemærker, at en løsning $\bm{z} =(z_1,z_2,\ldots,z_n)^T \in \mathcal{L}^\infty(A)$ til det lineære differentialligningssystem $\bm{x}' = A \cdot \bm{x}$ skal opfylde Specielt vil der for $2 \leq i \leq n$ skulle gælde, at og en løsning $\bm{z}$ til $\bm{x}' = A \cdot \bm{x}$ er derfor nødvendigvis på formen Omvendt, så vil et element $\bm{z}=(z_1,z_2,\ldots,z_n)^T$ på formen (15.26) automatisk opfylde de første $n-1$ ligninger i (15.24), og at $\bm{z}$ dermed er en løsning til $\bm{x}' = A \cdot \bm{x}$ er da ækvivalent med, at Med andre ord, så vil $\bm{z}$ være en løsning til $\bm{x}' = A \cdot \bm{x}$ hvis og kun hvis $\bm{z}$ er på formen (15.26), hvor $z_1$ er en løsning til $p(D)(f)=0$. Vi konkluderer hermed følgende resultat:

Bevis

Bevis

Løsninger $g$ til $n$'te ordens lineære differentialligninger (med konstante koefficienter) er altså kun entydigt bestemt ud fra deres begyndelsesværdi $g(0)$, når $n=1$. Når $n>1$, så kræves der yderligere kendskab til værdierne $g^{(1)}(0), g^{(2)}(0), \ldots, g^{(n-1)}(0)$ for entydigt at bestemme $g$.

15.5.3 Bestemmelse af basis for $\mathcal{L}^\infty(p)$

For at lette vores notation, så udvider vi nu notationen $p(D)(f)=0$ til også at omfatte polynomier hvor skalaren $p_n \in \mathbb{K}$ ikke nødvendigvis er $1$, men blot er forskellig fra $0$. Vi definerer operatoren på oplagt vis, og siger, at $g \in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{K})$ er en løsning til differentialligningen $p(D)(f)=0$, hvis $p(D)(g)=0$. Mængden af løsninger til $p(D)(f)=0$ betegnes da med $\mathcal{L}^\infty(p)$. Bemærk, at $\mathcal{L}^\infty(p)$ så er sammenfaldende med vores notation $\mathcal{L}^\infty(p/p_n)$ fra tidligere.Vi ønsker nu at beskrive en basis for løsningsrummet $\mathcal{L}^\infty(p)$. I den forbindelse indfører vi differentialkvotienten $p'$ af $p$, og bemærker, at I første omgang har vi brug for følgende lemma.

Bevis

Følgende resultat er da helt centralt i vores beskrivelse af $\mathcal{L}^\infty(p)$.

Bevis

Bevis

Bevis

Bevis

Bevis

Vi kan nu også beskrive løsningmængden $\mathcal{L}^\infty(p)$ i det reelle tilfælde.

Bevis

15.5.4 Relationer til fysik

Lad os kort vende blikket mod fysik, og lad os betragte en kugle med masse $m$, der er ophængt i en fjeder som skitseret i Figur 15.33.Situationen til venstre i billedet viser kuglen i ligevægtspositionen. I den højre side af billedet er kuglen forskudt afstanden $x$ fra ligevægtsposition, og Hookes lov siger da, at fjederen vil påvirke kuglen med kraft af størrelse $k \cdot x$, hvor $k>0$ betegner fjederkonstanten for fjederen. Kraften der påvirker kuglen, vil altid være rettet mod ligevægtspositionen, og Newtons 2. lov giver dermed, at positionen $x$, som funktion af tiden, vil opfylde identiteten Med andre ord, så vil $x$ være en løsning til differentialligningen Bemærk, at vi her har set bort fra tyngdekraften, da den alene vil forskyde ligevægtspunktet ift. til en opsætning uden tyngdekraft.Ved anvendelse af Korollar 15.31, så finder vi hermed, at positionen $x$ af kuglen må være givet på formen hvor $\omega = \smash{\sqrt{\frac{k}{m}}}$, og hvor $A$ og $B$ betegner passende reelle tal. Højresiden af (15.54) kan simplificeres ved at indføre vektoren af længde lig $1$, og bemærke, at denne nødvendigvis er på formen $(\cos(\phi), \sin(\phi))$ for et passende tal $\phi$. Hermed er hvor vi undervejs har anvendt passende additionsformler for sinus og cosinus. Vi ser heraf, at kuglen vil udføre svingninger med amplitude $\sqrt{A^2 + B^2}$ og frekvens $\omega/(2 \pi)$.Lad os nu justere opsætningen en smule, og antage, at kuglen, udover at være påvirket af fjederkraften, også er påvirket af kraft der stammer fra det omgivende rum. Man kunne f.eks. tænke sig, at kuglen bevægede sig i en væske, der bremsede kuglen. Det er naturligt at forvente, at kraften, som væsken påvirker kuglen med, er proportional med hastigheden $x'$ af kuglen (Stokes' lov). Hvis vi antager, at denne kraft er på formen $-\alpha \cdot x'$, hvor $\alpha>0$ er en skalar der afhænger af kuglen og den omgivende væske, så siger Newtons 2. lov i dette tilfælde, at Med andre ord, så opfylder $x$ differentialligningen Det tilsvarende karakteristiske polynomium har rødderne (evt. komplekse) som kun er reelle, hvis $\alpha^2 \geq 4m k$ svarende til at modstanden i væsken er dominerende ift. fjederkraften. Lad os her undersøge hvad der sker, når det modsatte er tilfældet; dvs. når $\alpha^2 < 4 mk$ svarende til at fjederkraften er dominerende. I dette tilfælde er rødderne ikke-reelle og lig og ifølge Korollar 15.31, så er positionen af kuglen dermed givet ved for passende tal $A$ og $B$. Med en omskrivning som i det foregående tilfælde, så opnår vi, at for et passende tal $\phi$. Vi ser, at kuglen stadig beskriver en svingning, men at amplituden i dette tilfælde er (eksponentielt) aftagende, hvilket passer fint med det forventelige. I Figur 15.34 er det skitseret, hvordan en sådan løsning kan se ud.I tilfældet hvor $\alpha^2 \geq 4 mk$, svarende til at modstanden i væsken er dominerende, der vil begge rødder (15.59) være negative, hvilket implicerer, at kuglen også i dette tilfælde vil nærme sig ligevægtspunktet med eksponentiel hastighed.Vi konkluderer samlet set, at hvis kuglen udover at være påvirket af fjederen, også er påvirket af en omgivende væske, så vil positionen $x(t)$ nærme sig $0$ med eksponentiel hastighed.

15.6 Inhomogene differentialligninger

Vi vil nu betragte inhomogene $n$'te ordens lineære differentialligninger. Med det mener vi differentialligninger af formen: hvor $p_0,p_1,\ldots,p_{n-1} \in \mathbb{K}$ betegner skalarer, og $b \in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{K})$. Med en løsning til (15.62) menes der en funktion $g \in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{K})$, så Idet vi lader $p$ betegne polynomiet så betegner vi også differentialligningen (15.62) med $p(D)(f) = b$. Såfremt $b$ er nulfunktionen, så er differentialligningen (15.62) af den type, som vi har betragtet i de foregående afsnit. I modsætning hertil, så udgør løsningerne til $p(D)(f) = b$, når $b$ ikke er nulfunktionen, ikke længere et vektorrum. Vi har dog:

Bevis

Da vi allerede har beskrevet samtlige løsninger til homogene differentialligninger af formen $p(D)(f) =\nobreak 0$, så viser Lemma 15.35, at vi alene behøves at bestemme en enkelt løsning $g_p$ til $p(D)(f)=b$, for at opnå en fuldstændig beskrivelse af løsningerne til $p(D)(f)=b$. En sådan løsning $g_p$ kaldes ofte en partikulær løsning.I det følgende resultat betegner $\bm{e}_i$, for $i=1,2,\ldots,n$, det $i$'te standardbasiselement for $\mathbb{K}^n$.

Bevis

Idet alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner, så eksisterer der et element $\bm{h} \in \mathrm{Mat}_{n,1}(\mathbb{K})$, der opfylder betingelsen i Proposition 15.36, og differentialligningen $p(D)(f) = b$ har dermed mindst én løsning. Uheldigvis kræver beskrivelsen (15.69) af en sådan løsning, at man kan beregne eksponentialfunktionen $\mathrm{exp}(A)$ for matricen $A$ i (15.23).

Bevis

Med notation som i Lemma 15.37, så lader vi nu $W^{-1} \in \mathrm{Mat}_n^\infty(\mathbb{K})$ betegne elementet, så $W^{-1}(t) = W(t)^{-1}$, for $t \in \mathbb{R}$. Vi har da

Bevis

Bemærk, at elementet $W$ i Sætning 15.38 kan bestemmes ud fra resultaterne i hhv. Sætning 15.30 og Korollar 15.31. Dermed er Sætning 15.38 umiddelbart mere anvendelig end Proposition 15.36.

15.6.1 Eksempler på 2. ordens inhomogene lineære differentialligninger

Lad os som et eksempel på ovenstående teori betragte en reel differentialligning af formen hvor $b$ betegner et element i $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$, mens $\alpha >0$ betegner en reel skalar. Vi indfører i denne forbindelse det tilhørende reelle polynomium og bemærker, at hvor $\beta = \sqrt{\alpha}>0$ betegner en kvadratrod af $\alpha$. Det følger nu af Korollar 15.31, at $\mathcal{V}=(g_1,g_2)$ med er en basis for $\mathcal{L}^\infty(p)$. Sæt og bemærk, at er invertibel med invers Lad nu $\bm{h}= (h_1, h_2)^T \in \mathrm{Mat}_{2,1}^\infty(\mathbb{R})$ være defineret ved og for $t \in \mathbb{R}$. Så følger det af Sætning 15.38, at funktionen $g \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ defineret ved er en løsning til (15.81).Lad os nu betragte tilfældet, hvor hvor $\gamma \neq 0$ og $\omega >0$ er reelle skalarer. For at finde en partikulær løsning til (15.81), så kan man nu sætte ind i formlen (15.86). Det viser sig, at man naturligt bør inddele i tilfældene $\omega=\beta$ og $\omega \neq \beta$. Vi betragter i første omgang tilfældet $\omega=\beta$. Her finder vi, at hvor vi undervejs har anvendt passende additionsformler for sinus og cosinus funktionerne. Tilsvarende findes, at Ved indsættelse i (15.86) der opnår man da, at er en løsning til (15.81). Faktisk er det en let øvelse direkte at tjekke, at (15.88) definerer en partikulær løsning til (15.81), så hvis man var god til at gætte, så kunne man fra starten af have postuleret at (15.88) var en partikulær løsning, og på den måde have undgået den lange beregning ovenfor.Lad os nu behandle tilfældet $\omega \neq \beta$ ved at prøve at gætte os til en partikulær løsning til (15.81). Det viser sig at være fornuftigt at gætte på, at for en passende skalar $A \in \mathbb{R}$, er en løsning. Ved indsættelse i (15.81) så opnår man følgende betingelse: på $A$. Denne betingelse er opfyldt, når og funktionen definerer derfor en partikulær løsning til (15.81).Lad os sluttelig betragte en differentialligning på formen hvor $b$ betegner et element i $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$, mens $\alpha, \beta >0$ betegner reelle skalarer. Lad os koncentrere os om tilfældet, hvor for passende reelle skalarer $\gamma, \omega >0$ og $\phi$, og lad os gætte på, at (15.92) har en løsning af formen for passende reelle skalarer $A$ og $B$. Hvis vi indsætter $g$ på venstresiden i (15.92), så får vi En tilstrækkelig betingelse for at $g$ definerer en partikulær løsning til (15.92) er dermed, at svarende til det lineære ligningssystem Betragt nu determinanten af den kvadratiske matrix på venstresiden af (15.95). Determinanten $D$ er forskellig fra nul med mindre $\alpha = \omega^2$ og $\beta = 0$ (husk, at vi antager, at $\omega \neq 0$). Hvis $\beta=0$, så reducerer differentialligningen (15.92) blot til en differentialligning af formen (15.81), og da vi allerede har beskrevet dette tilfælde, så antager vi her, at $\beta \neq 0$. Specielt vil (15.95) have en entydig løsning givet ved Vi konkluderer, at er en partikulær løsning til (15.95). Ved anvendelse af passende additionsformler for cosinus of sinus, så kan dette udtryk omskrives til hvor $\phi_0$ er en passende reel skalar der afhænger af $\phi$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ og $\omega$.

15.6.2 Tvungne svingninger

Lad os nu vende tilbage til eksemplet med kuglen og fjederen fra Afsnit 15.5.4. Her studerede vi, hvordan en kugle med masse $m$ ville bevæge sig, når den var påvirket af en fjederkraft givet ved fjederkonstanten $k>0$. Vi studerede også, hvad der skete, når kuglen var påvirket af en kraft fra det omgivne rum, der var proportional med kuglens hastighed (proportionalitetsfaktoren blev betegnet med $\alpha>0$). I eksemplet blev den ydre kraft illustreret ved, at kuglen bevægede sig i en væske, og at det var modstanden i denne væske, der udgjorde den ydre kraft. Denne opsætning førte til differentialligningen hvor $x$ angav kuglens placering i forholdet til ligevægtspositionen. Vi vil nu tilføje endnu en ingrediens til det tænkte eksempel, hvilket skal bestå i en ydre kraft, der alene afhænger af tiden og ikke af kuglens placering eller hastighed. Konkret vil vi betragte situationen, hvor fjederens ophæng i loftet ikke er stationær, men i stedet bevæger sig op og ned, se Figur 15.39. Vi vil antage, at denne bevægelse er periodisk, og at den er beskrevet ved en funktion for passende reelle tal $\gamma, \omega_f >0$ og $\phi$. Idet $x$ stadig angiver kuglens placering, så vil differencen $x-z$ nu være et mål for kuglens placering ift. ligevægtspositionen. Specielt vil fjederkraften nu være givet ved $k (x-z)$. Derimod ændres der ikke på kraften fra modstanden i væsken, da denne alene afhænger af kuglens hastighed. Newtons 2. lov implicerer da, at svarende til, at $x$ opfylder differentialligningen Hvis vi i denne differentialligning dividerer med $m$, så opnår vi en inhomogen differentialligning af en form, som vi just har behandlet ovenfor. En partikulær løsning til denne er beskrevet i (15.97), og vi konkluderer derfor, at en partikulær løsning til (15.100) er givet ved for et passende reelt tal $\phi_0$, og hvor vi har anvendt notationen $\omega$ om $\sqrt{\frac{k}{m}}$. Ydermere så ved vi, jf. Lemma 15.35, at differencen $x-x_p$ er en løsning til den homogene differentialligning Vi kan nu anvende vores viden fra Afsnit 15.5.4 til at konkludere, at funktionen $x-x_p$ vil nærme sig $0$ med eksponentiel hastighed. Af denne grund, så vil $x(t)$ opføre sig tilnærmelsesvis som $x_p(t)$ for store værdier af $t$.Konklusionen er, at kuglen (tilnærmelsesvis) vil ende med at udføre en svingning med en frekvens $\omega_f/(2\pi)$, der er identisk med den frekvens, der påtvinges systemet ved at ophængspunktet varieres.Amplituden vil være beskrevet ved der er maksimal (set som funktion af $\omega_f$), når $\omega=\omega_f$. Her skal man huske på, at $\omega/(2\pi)$ er frekvensen af den svingning som kuglen ville udføre, hvis den alene var påvirket af fjederkraften. Denne frekvens kaldes egenfrekvensen af systemet bestående af kugle og fjederen. At amplituden er maksimal netop når egenfrekvensen stemmer overens med den påtvungne frekvens er, hvad der ofte omtales som resonans. Bemærk for øvrigt, at resonansen kan resultere i vilkårligt store værdier for amplituden, hvis man tænker sig, at modstanden i væsken går mod nul (svarende til, at $\alpha$ går mod nul).I Figur 15.40 er der skitseret et eksempel på, hvordan en sådan bevægelse kan se ud. Bemærk at der er en indsvingningstid før bevægelsen tilnærmelsesvis følger den påtvungne frekvens.